Question

已知：如图，四边形ABCD为正方形，以AB为直径的半圆O₁和以O₁C为直径的⊙O₂交于点F，连CF并延长交AD于点H，FE⊥AB于点E，BG⊥CH于点G．
（1）求证：CH是半圆O₁的切线；
（2）连接AF，求证：AF∥O₁C；
（3）当正方形ABCD的边长为5时，求四边形ABGF的面积．

Answer 1

（1）证明：如图，连AF，BF，O₁F，
∵CO₁为半圆O₂的直径，
∴∠O₁FC=90°，
∴CH是半圆O₁的切线；

（2）证明：∵AB为半圆O₁的直径，
∴∠AFB=90°，
而FE⊥AB，
∴∠AFE=∠ABF，
又∵∠ABF=∠O₁CF，
∴∠AFE=∠O₁CF，
∴AF∥O₁C；

（3）解：∵CH是半圆O₁的切线，
∴CF=CB，HA=HF，
设AH=x，则DH=5-x，CH=5+x，
在Rt△CHD中，CD²+DH²=CH²，即5²+（5-x）²=（5+x）²，
解得x=，
∴CH=，
易证得Rt△CBG∽Rt△HDC，
∴BG：CD=CB：CH，即BG：5=5：，
解得BG=4，
∴GC=3，
∴GF=2，
∵HA∥CB∥EF，
∴AE：EB=HF：FC=：5=1：4，
∴AE=1，
∴O₁E=-1=，
在Rt△O₁EF中，O₁F=，
∴FE=2，
∴四边形ABGF的面积=S_△ABF+S_△BGF=EF•AB+BG•FG=×2×5+×2×4=9．
分析：（1）连AF，BF，O₁F，根据圆周角定理的推论由CO₁为半圆O₂的直径得到∠O₁FC=90°，再根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理的推论得到∠AFB=90°，而FE⊥AB，则∠AFE=∠ABF，又∠ABF=∠O₁CF，得到∠AFE=∠O₁CF，从而得到结论；
（3）根据切线长定理得到CF=CB，HA=HF，设AH=x，则DH=5-x，CH=5+x，在Rt△CHD中利用勾股定理可计算出x=，则CH=，易证得Rt△CBG∽Rt△HDC，利用相似比可求出BG=4，则GC=3，GF=2；由EF∥AP∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到AE：EB=PF：FC=：5=1：4，则AE=1，O₁E=-1=，在Rt△O₁EF中利用勾股定理求出EF=2，而四边形ABGF的面积=S_△ABF+S_△BGF，利用三角形面积公式计算即可．
点评：本题考查了切线的判定定理以及切线长定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；从圆外引圆的两切线，切线长相等．也考查了圆周角定理的推论、平行线分线段成比例定理以及勾股定理．