Question

（1999•南京）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=6，AE=6，求DE的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；
（2）先利用切割线定理可求出半径OD，容易证出△AED∽△ABE；设DE=x，BE=2x，利用相似比，结合勾股定理可求x，从而求出DE的长．
解答：（1）证明：连接OE；（1分）
∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB=90°，
∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，（2分）
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，（3分）
∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AC是⊙O的切线；（4分）

（2）解：∵AE是⊙O的切线，
AD=6，AE=6，
∴AE²=AD•AB，（5分）
∴AB===12，
∴BD=AB-AD=12-6=6；
∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABE，（6分）
∴；
设DE=x，BE=2x，
∵DE²+BE²=BD²，（7分）
∴2x²+4x²=36，
解得x=±（负的舍去），
∴DE=2．（8分）
点评：本题利用了平行线的性质、切线的判定、切割线定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．