Question

（2004•宣武区二模）如图所示，矩形ABCD，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5cm，且=．
（1）求证：△AFB∽△FEC；
（2）求矩形的周长．

Answer 1

【答案】分析：（1）矩形的特点是四个角均为直角，折叠的部分所包含的角也是直角，利用在直角三角形中两锐角互余可得∠BAF=∠CFE，进而可证明△ABF∽△FCE；
（2）利用相似三角形对应边成比例，再利用勾股定理即可得解．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=∠AFE=90°．
∵∠CFE+∠BFA=90°，∠BFA+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CFE．
∴△ABF∽△FCE．

解：（2）∵=，设EC=3t，FC=4t，则EF=DE=5t，
∴AB=CD=8t．
∴，
∴BF=6t．
∴AF=10t．
在Rt△AEF中，由勾股定理（10t）²+（5t）²=（5）²
∴t=1．
∴矩形周长=2（AB+BF+FC）=2（8t+6t+4t）=36（cm）．
点评：本题主要考查了矩形的特点、图形的折叠、相似三角形的判定定理及性质等内容．