Question

18．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，AE与DH交于O，若AE=DH，求证：AE⊥DH；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，EF与GH交于O，若EF=HG，探究线段EF与HG的位置关系，并说明理由；
（3）如图3所示，在（2）问条件下，若HF∥GE，试探究线段FH、线段EG与线段EF的数量关系，并说明．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；
（2）将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．再判断出Rt△ABM≌Rt△DAN，最后代换即可得出结论；
（3）先构造出平行四边形EFHP，得出FH=PE，HP=EF，再用勾股定理即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠HAO=∠ADO，
在△ABE和△DAH中$\left\{\begin{array}{l}{∠HAO=∠DAH}\\{AB=AD}\\{∠B=∠HAD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH．

（2）解：EF⊥GH．
理由：如图2，将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．

∵EF=GH，
∴AM=DN，
在Rt△ABM和Rt△DAN中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=DN}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△DAN，
∴∠BAM=∠ADN，
∵∠DAM+∠BAM=90°，
∴∠DAM+∠ADN=90°，
∴AM⊥DN，
∴EF⊥HG；

（3）解：EG+FH=$\sqrt{2}$EF．理由：如图3，

过点H作HP∥FE交GE的延长线于P，
∵FH∥EG，
∴四边形EFHP是平行四边形，
∴FH=PE，HP=EF，
由（2）知，EF=HG，
∴HP=HG，
∵HP∥FE，EF⊥HG，
∴HP⊥HG，
在Rt△PHG中，根据勾股定理得，PG=$\sqrt{2}$HG=$\sqrt{2}$EF，
∵PG=EG+PE=EG+FH，
∴EG+FH=$\sqrt{2}$EF．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）（2）的关键是构造全等三角形，解（3）的关键是将EG，FH和HG放在同一个直角三角形中，是一道中等难度的中考常考题．