Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，DF切⊙O于E点，分别与CA、CB的延长线于点D、F，已知AB∥DF，CD=4，CF=3，则AC=（　　）

• A、

  9

  5

• B、

  15

  8

• C、

  48

  25

• D、

  96

  49

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接OE，作CN⊥DF，交AB于M，交DF于N，易证△ABC∽△DFC，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出BC：AC：AB=CF：CD：DF=3：4：5，设AB=5α，则AC=4α，OE=MN=2.5α，根据CM²=AM×BM=3.2×1.8α²，即可出CM的长，进而可求出AC的长．

解答： 解：

∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵CD=4，CF=3，
∴DF=5，
∵AB∥DF，
∴△ABC∽△DFC，
∴BC：AC：AB=CF：CD：DF=3：4：5，
连接OE，
∵DF是切线，
∴OE⊥DF，
作CN⊥DF，交AB于M，交DF于N，
则MN=OE（平行线间的距离相等），
设AB=5α，则AC=4α，OE=MN=2.5α，
∵AC²=AM×AB，
∴16α²=5αAM，
∴AM=3.2α，BM=AB-AM=1.8α，
∵CM²=AM×BM=3.2×1.8α²，
∴CM=2.4α²
则CN=CM+MN=4.9α，
∵AB∥DF，
∴AC：CD=CM：CN=

24

49

．
∴AC=

24

49

CD=

96

49

，
故选D．

点评：本题考查了圆的切线性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．