若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．分析 （1）根据“同簇二次函数”的定义，只要两个函数的顶点、开口方向都一样即可；
（2）①把P点坐标代入y1=2x2-4mx+2m2+1，可求得m的值，则可求得其解析式；由y1的解析式可求得其顶点坐标，则可得y2的顶点坐标，代入可求得y2的解析式；②设点B的坐标为（n，$\frac{1}{4}$（n-1）2+1）（n＞1），由AB∥CD∥x轴和BC⊥AB利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出点B、C、D的坐标，再根据两点间的距离可求出AB、CD的长度，将其代入$\frac{CD}{AB}$即可得出结论．
解答 解：（1）∵y=x2和y=2x2的顶点均为（0，0），且开口向上，
∴y=x2和y=2x2为“同簇二次函数”．
（2）①把P（1，1）代入y1=2x2-4mx+2m2+1，
得：1=2-4m+2m2+1，解得：m=1，
∴y1=2x2-4x+3=2（x-1）2+1．
∵y2与y1为“同簇二次函数”，
∴顶点一样为（1，1），即y2=a（x-1）2+1，
∴a+1=$\frac{5}{4}$，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴函数y2的表达式为y2=$\frac{1}{4}$（x-1）2+1=$\frac{1}{4}$x2-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{4}$．
②设点B的坐标为（n，$\frac{1}{4}$（n-1）2+1）（n＞1），
∵AB∥x轴，
∴点A的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{4}$（n-1）+1，$\frac{1}{4}$（n-1）2+1），
∵AB∥CD∥x轴，BC⊥AB，
∴点C的坐标为（n，2（n-1）2+1），点D的坐标为（2$\sqrt{2}$（n-1）+1，2（n-1）2+1）．
∴AB=n-[$\frac{\sqrt{2}}{4}$（n-1）+1]=（n-1）（1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$），CD=2$\sqrt{2}$（n-1）+1-n=（n-1）（2$\sqrt{2}$-1），
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{（n-1）（2\sqrt{2}-1）}{（n-1）（1-\frac{\sqrt{2}}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{2}-1}{\frac{4-\sqrt{2}}{4}}$=2$\sqrt{2}$．
点评 本题考查了“同簇二次函数”的定义、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据“同簇二次函数”的定义写出二次函数；（2）①利用待定系数法求出函数解析式；②利用二次函数图象上点的坐标特征找出点B、C、D的坐标．
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