Question

如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的半圆，圆心为O，且AB=AD，延长CB、DA交于P，过C点作PD的垂线交PD的延长线于E，当PB=BO，CD=18时，
求：（1）⊙O的半径长；（2）DE的长．

Answer 1

解：（1）连接OA，BD交于F，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°；
又∵OA是半径，AB=AD；
∴OA⊥BD，OA∥CD；
∵；
∴OA=12；
∴⊙O的半径为12．

（2）∵OF∥CD，；
∴OF=9，AF=3；
∵BD==；
∴DF=BD=；
∴AD==；
∵∠AFD=∠DEC=90°，OA∥DC，∠FAD=∠CDE；
∴△AFD∽△DEC；
∴；
即；
∴DE=．
∴DE为．
分析：（1）连接OA、BD交于F，由BC是⊙O的直径可以知道∠BDC=90°，而OA是半径，AB=AD根据垂径定理可以知道OA⊥BD，所以OA∥CD；接着可以得到；而PB=BO=OC，CD=18；现在可以求出OA了，也就求出了圆的半径．
（2）由OF∥CD，OB=OC根据中位线定理可以求出OF，AF；在根据勾股定理在Rt△DBC中可以求出BD，DF；接着在Rt△ADF中求出AD；然后利用平行线的性质得∠FAD=∠CDE证明△AFD∽△DEC，利用相似三角形的对应边成比例可以求出DE了．
点评：此题是圆的知识综合性比较强的一道题，把垂径定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，中位线定理等知识都放在圆的背景中，充分发挥这些知识的作用解题．