Question

在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．
 
（1）求证：MA=MB；
（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）连接OM，由Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点可得OM=PM=PQ=2，∠POM=∠BOM=∠P=45° ，即得∠PMA=∠OMB，则可证得△PMA≌△OMB，问题得证；（2）存在，4+2．

试题分析：（1）连接OM，由Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点可得OM=PM=PQ=2，∠POM=∠BOM=∠P=45° ，即得∠PMA=∠OMB，则可证得△PMA≌△OMB，问题得证；
（2）根据全等三角形的性质可得PA=OB，则OA+OB=OA+PA=OP=4，令OA=x，AB=y，根据勾股定理可得y²=x²+(4-x)²=2x²-8x+16=2(x-2)²+8≥8，再根据二次函数的性质即可作出判断.
（1）连接OM

∵Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点
∴OM=PM=PQ=2，∠POM=∠BOM=∠P=45°
∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO
∴∠PMA=∠OMB，
∴△PMA≌△OMB
∴MA=MB；
（2）△AOB的周长存在最小值
理由是: △PMA≌△OMB
∴PA=OB，∴OA+OB=OA+PA=OP=4
令OA=x，AB=y则y²=x²+(4-x)²=2x²-8x+16=2(x-2)²+8≥8
当x=2时y²有最小值=8从而y≥2
所以⊿AOB的周长存在最小值为4+2．
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.