Question

7．三角形两边长分别是3和4，第三边的长是一元二次方程x²-8x+15=0的一个实数根，则此三角形的面积=6或2$\sqrt{5}$．已知关于x的方程kx²-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜1且k≠0．

Answer 1

分析 （1）先解方程，再分别画出图形根据面积公式求三角形面积即可；
（2）因为方程kx²-6x+9=0有两个不相等的实数根，所以△＞0，列不等式，解出，同时此方程有两个解，所以二次项系数不为0，即k≠0．

解答 解：（1）x²-8x+15=0，
（x-3）（x-5）=0，
x=3或5，
∵三角形两边长分别是3和4，
∴1＜第三边的长＜7，
∴x=3或5都符合题意，
①当第三边为3时，如图1，过A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB=AC=3，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$×$4×\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
②当第三边为5时，如图2，
∵3²+4²=5²，
∴此三角形是直角三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
则此三角形的面积为2$\sqrt{5}$或6；
（2）kx²-6x+9=0
∵关于x的方程kx²-6x+9=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-6）²-4k×9＞0，
k＜1且k≠0，
故答案为：2$\sqrt{5}$或6；k＜1且k≠0．

点评 本题考查了根的判别式、解一元二次方程、三角形的面积及三边关系，已知三角形的两边，确定第三边时，根据三边关系得：两边的差＜第三边＜两边的和；同时还要熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式，要注意满足一元二次方程的二次项系数不为0．