Question

如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴y轴的正半轴上．连接AC，且AC=4

5

，tan∠OAC=

1

2

，
（1）求A、C两点的坐标；
（2）求AC所在直线的解析式；
（3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积；
（4）求EF所在的直线的函数解析式；
（5）若过一定点P的任意一条直线h总能把矩形OABC的面积平均分成两部分，求定点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）因为AC=4

5

，tan∠OAC=

1

2

，∠COA=90°，所以可求出OA=2OC，利用勾股定理可得AC²=OC²+OA²，由此即可求出OC=4，OA=8，进而求出A与C坐标；
（2）可设AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出AC的解析式；
（3）可设AC与EF交于点G，由折叠知EF垂直平分AC，所以G是矩形ABOC的中心，所以FG=GE，利用EF、AC互相垂直平分，可得重合部分AECF是菱形，进而可设CF=x，则AF=x，BF=8-x，因为AB=4，∠B=90°，利用勾股定理，可求出x=5，即CF=5，求出重合部分的面积即可；
（4）由AC与EF垂直，根据直线AC斜率求出直线EF斜率，再由G坐标，确定出直线EF解析式即可；
（5）根据题意得到P为矩形ABCO中心，即P与G重合，即可确定出P坐标．

解答：解：（1）∵AC=4

5

，tan∠OAC=

1

2

，∠COA=90°，
∴

OC

OA

=

1

2

，即OA=2OC，
∵AC²=OC²+OA²，
∴80=OC²+4OC²，
∴OC=4，OA=8，
∴A（8，0），C（0，4）；
（2）设AC的解析式为y=kx+b，
则

b=4 8k+b=0

，
∴

k=- 1 2 b=4

，
∴AC的解析式为y=-

1

2

x+4；
（3）设AC与EF交于点G，由折叠知EF垂直平分AC，所以G是矩形ABOC的中心，
∴FG=GE，
∴EF、AC互相垂直平分，
∴重合部分AECF是菱形，
设CF=x，则AF=x，BF=8-x，
∵AB=4，∠B=90°，
∴x²=4²+（8-x）²，
∴x=5，即CF=5，
∴重合部分的面积=5×4=20；
（4）∵AC⊥EF，直线AC斜率为-

1

2

，
∴直线EF斜率为2，
∵A（8，0），C（0，4），且G为AC中点，
∴G（4，2），
则直线EF解析式为y-2=2（x-4），即2x-y=6；
（5）根据题意得到P为矩形ABCO中心，即P与G重合，
则过一定点P的任意一条直线h总能把矩形OABC的面积平均分成两部分，此时顶点P（4，2）．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：折叠的性质，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，两直线垂直时斜率满足的关系，以及矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．