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    精英家教网探索研究
    已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
    x … -1 0 1 2 3 …
    y … 0 -5 -8 -9 -8 …
    （1）求该二次函数的关系式，并在给定的坐标系xOy中画出函数的图象；
    （2）若A（m，y1），B（m+4，y2）两点都在该函数的图象上．
    ①试比较y1与y2的大小；
    ②若A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答以下问题：
    （Ⅰ）直接写出实数m的变化范围是
     
    ；
    （Ⅱ）是否存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形？若存在，请求出m的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）任取两点坐标，利用待定系数法求函数解析式，根据表格中提供的数据画出图象；
    （2）①求出y1-y2的表达式，然再分大于0，等于0，小于0三种情况讨论；
    ②（Ⅰ）先求出二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再根据交点在x轴的下方，令m大于左边点的横坐标，m+4小于右边点的横坐标，解不等式即可；
    （Ⅱ）先求出AB与x轴平行，所以分（i）AB为平行四边形的边时，PQ与AB平行，此时点Q就是二次函数与x轴的交点，（ii）AB为平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分的性质，PQ平分AB，所以点Q就是二次函数的顶点，然后分别讨论求解．
    解答：精英家教网解：（1）根据题意，
    1-b+c=0
    c=-5
    ，
    解得
    b=-4
    c=-5
    ，
    ∴该二次函数解析式为y=x2-4x-5，图象如右；

    （2）①y1-y2=m2-4m-5-（m+4）2+4（m+4）+5=-8m，
    ∴当m＞0时，-8m＜0，y1＜y2，
    当m=0时，-8m=0，y1=y2，
    当m＜0时，-8m＞0，y1＞y2；

    ②（Ⅰ）当y=0时，x2-4x-5=0，
    解得x1=-1，x2=5，
    ∴二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0），（5，0），
    ∵A、B两点位于x轴的下方，
    ∴m＞-1，m+4＜5，
    解得-1＜m＜1；

    （Ⅱ）∵二次函数对称轴为x=-
    -4
    2×1
    =2，
    AB=|
    m+4-m
    2
    |=2，
    ∴点A、B关于对称轴对称，
    ∴AB∥x轴，
    （i）若AB为平行四边形的边，则PQ∥AB，
    ∴点Q为二次函数图象与x轴的交点，此时PQ=2-（-1）=3，或PQ=5-2=3，
    而AB=m+4-m=4，
    AB≠PQ，
    ∴AB不能是平行四边形的边；
    （ii）若AB为平行四边形的对角线，根据AB关于对称轴对称，得
    点Q为二次函数顶点，
    又x=2时，y=22-4×2-5=-9，
    ∴点Q坐标是（2，-9），
    根据平行四边形对角线互相平分，点A、B的纵坐标是
    -9
    2
    =-4.5，
    此时，m2-4m-5=-4.5，
    解得m=
    4-3
    		2
    2
    ，或m=
    4+3
    		2
    2
    （舍去）．
    又∵此时AB∥x轴，
    ∴y1=y2，
    ∴-8m=0，
    解得m=0，
    ∵m=
    4-3
    		2
    2
    ≠0，
    ∴不存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形．
    点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，平行四边形的性质，解一元二次方程，综合性较强，难度较大．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    问题情境
    已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
    数学模型
    设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2(x+
    a
    x
    )(x＞0)    ．
    探索研究
    （1）我们可以借鉴学习函数的经验，先探索函数y=x+
    1
    x
    (x＞0)    的图象性质．
    1填写下表，画出函数的图象：
    x …
    1
    4
    1
    3
    1
    2
    		 1 2 3 4 …
    y … …
    ②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
    ③在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．同样通过配方也可以求函数y=x+
    1
    x
    （x＞0）的最小值．y=x+
    1
    x
    =(
    		x
    )2+(
    1
    x
    )2    =(
    		x
    )2+(
    1
    x
    )2-2
    		x
    •
    1
    x
    +2
    		x
    •
    1
    x

    =(
    		x
    -
    1
    x
    )2+2    ≥2
    当
    		x
    -
    1
    x
    =0，即x=1时，函数y=x+
    1
    x
    （x＞0）的最小值为2．
    解决问题
    （2）解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•营口一模）[提出问题]：已知矩形的面积为1，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
    [建立数学模型]：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=x+
    1
    x
    （x＞0）．
    [探索研究]：我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+（x＞0）的图象和性质．
    ①填写下表，画出函数的图象；
    x …
    1
    4
    1
    3
    1
    2
    		 1 2 3 4 …
    y … …
    ②观察图象，写出当自变量x取何值时，函数y=x+
    1
    x
    （x＞0）有最小值；
    ③我们在课堂上求二次函数最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x+
    1
    x
    （x＞0）的最小值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    探索研究
    已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
    x…-10123…
    y…0-5-8-9-8…
    （1）求该二次函数的关系式，并在给定的坐标系xOy中画出函数的图象；
    （2）若A（m，y1），B（m+4，y2）两点都在该函数的图象上．
    ①试比较y1与y2的大小；
    ②若A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答以下问题：
    （Ⅰ）直接写出实数m的变化范围是______；
    （Ⅱ）是否存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形？若存在，请求出m的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2010年江苏省镇江市扬中市外国语学校中考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

    探索研究
    已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
    x…-1123…
    y…-5-8-9-8…
    （1）求该二次函数的关系式，并在给定的坐标系xOy中画出函数的图象；
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    ②若A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答以下问题：
    （Ⅰ）直接写出实数m的变化范围是______；
    （Ⅱ）是否存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形？若存在，请求出m的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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