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27、已知方程(x-1)(x-2)=k2,其中k为实数且k≠0,不解方程证明:
(1)这个方程有两个不相等的实数根;
(2)方程的一个根>1,另一个根<1.
分析:(1)判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了.
(2)利用根与系数的关系以及(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1,确定两个根的取值情况.
解答:证明:(1)把(x-1)(x-2)=k2化简,得x2-3x+2-k2=0,
∵有两个不相等的实数根,a=1,b=-3,c=2-k2
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×(2-k2)=1+4k2>0,
∴方程两个不相等的实数根

(2)设方程有两个根为x1和x2
∴(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-k2-3+1=-k2
∵k为实数且k≠0,
∴-k2<0,因此方程的一个根>1,另一个根<1
点评:判断一元二次方程根的情况与判别式△的关系,可以转化为判断方程的根的判别式与0的大小关系,另外本题根据方程的一个根>1,另一个根<1,转化为(x1-1)(x2-1)<0,是解题的关键.
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