Question

如图，在△ABC中，AB=AC=4

2

，BC=8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，以点P为圆心，以PB为半径作⊙P，设点P运动的时间为t秒．
（1）当⊙P与直线AC相切时，求t的值；
（2）当⊙P与⊙A相切时，求t的值；
（3）延长BA交⊙A于点D，连接AP交⊙A于点E，连接DE并延长交BC于点F．当△ABP与△FBD相似时，求t的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）过点P作PK⊥AC，垂足为点K，根据⊙P与直线AC相切可知BP=PK=t．故可得出△ABC是等腰直角三角形，△PKC是等腰直角三角形，故PC=

2

PK=

2

t，由此可得出t的值；
（2）过点A作AM⊥BC，垂足为点M，故AP²=AM²+PM²，AM=

1

2

BC=4，PM=t-4或4-t，再根据⊙P与⊙A外切，⊙P与⊙A内切两种情况即可得出t的值；
（3）当△ABP∽△FBD时，∠D=∠BPA，根据∠D=∠AED=∠FEP可得∠D=∠AED=∠FEP=∠BPA，故∠BFD=2∠D，根据三角形内角和定理可求出∠D的度数，故可得出结论．

解答：解：（1）如图1，过点P作PK⊥AC，垂足为点K，
∵⊙P与直线AC相切，
∴BP=PK=t．
∵AB=AC=4

2

，BC=8，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴△PKC是等腰直角三角形．
∴PC=

2

PK=

2

t，
∴t+

2

t=8．
解得t=8

2

-8；

（2）如图2，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，则AP²=AM²+PM²，
AM=

1

2

BC=4，PM=t-4或4-t，
若⊙P与⊙A外切，则（t+2）²=4²+（t-4）²，
解得t=

7

3

．
若⊙P与⊙A内切，则（t-2）²=4²+（t-4）²，
解得t=7．
综上所述，当t=

7

3

或t=7时，⊙P与⊙A相切．

（3）当△ABP∽△FBD时，∠D=∠BPA，
∵∠D=∠AED=∠FEP，
∴∠D=∠AED=∠FEP=∠BPA．
∴∠BFD=2∠D．
∵∠D+∠B+∠BFD=180°，
∴∠D=45°，
∴∠BAP=90°．
∴AP与AC重合，
∴t=8．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，难度较大．