Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，过点B的弦BD⊥OC交⊙O于点D，垂足为E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）当BC=BD，且BD=12cm时，求图中阴影部分的面积（结果不取近似值）．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵OC⊥BD，
∴DE=BE，
∵OB=OD，
∴∠BOC=∠DOC，
∵OC=OC，
在△OBC和△ODC中，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC．
又∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠OBC=∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）∵△OBC≌△ODC，
∴BC=DC．
又DB=BC=12，
∴△BCD为等边三角形．
∴∠BOD=360°-90°-90°-60°=120°，∠OBE=90°-60°=30°，BE=6．
∴OE=BE•tan30°=2，OB=2OE=4，
∴S_阴影部分=S_扇形OBD-S_△OBD=×12×2=16л-12（cm²）．
分析：（1）连接OD，然后证明△OBC≌△ODC可得∠OBC=∠ODC，再根据AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，可得∠OBC=∠ODC=90°，进而得到CD是⊙O的切线；
（2）首先证明△BCD为等边三角形，可得∠BCD=60°，进而算出∠BOD的度数，计算出∠OBD和BE、OE、OB的长，再根据S_阴影部分=S_扇形OBD-S_△OBD即可算出答案．
点评：此题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，以及扇形的面积计算，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．