Question

7．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E为BC边上一点，且BE=2，F为AB上一点，FG⊥AE分别交AE、CD于点P、G，以PC为直径的圆交线段FG于点Q，若PF=QG，则BF=$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 连接AC交FG于O，连接PC、CQ，延长AE交PC为直径的圆于H，连接CH．首先证明OA=OC，由△AEB∽△CEH，可得$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AB}{CH}$=$\frac{BE}{EH}$，推出CH=$\frac{16\sqrt{17}}{17}$，EH=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，AH=$\frac{38\sqrt{17}}{17}$，由OA=OC，OP∥CH，推出AP=PH=$\frac{19\sqrt{17}}{17}$，由△APF∽△ABE，可得$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AP}{AB}$，推出AF=$\frac{19}{4}$，延长即可解决问题．

解答 解：连接AC交FG于O，连接PC、CQ，延长AE交PC为直径的圆于H，连接CH．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AFP=∠CGQ，
∵PC是直径，
∴∠CQP=∠H=90°，
∴CQ⊥FG，
∵AE⊥FG，
∴∠APF=∠CQG=90°，
在△APF和△CQG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFP=∠CGQ}\\{FP=GQ}\\{∠APF=∠CQG}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△CQG，
∴AP=CQ，
在△AOP和△COQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠COQ}\\{∠AOP=∠CQO}\\{AP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△COQ，
∴OA=OC，
在Rt△ABE中，∵AB=8，BE=2，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∵△AEB∽△CEH，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AB}{CH}$=$\frac{BE}{EH}$，
∴CH=$\frac{16\sqrt{17}}{17}$，EH=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
∴AH=$\frac{38\sqrt{17}}{17}$，
∵OA=OC，OP∥CH，
∴AP=PH=$\frac{19\sqrt{17}}{17}$，
∵△APF∽△ABE，
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴AF=$\frac{19}{4}$，
∴BF=AB-AF=8-$\frac{19}{4}$=$\frac{13}{4}$，
故答案为$\frac{13}{4}$

点评 本题考查矩形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质新三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．