Question

13．如图，已知△ABC中，AC=2，BC=4，以AB为边向形外作正方形ABMN，若∠ACB的度数发生变化，连接CN，则CN的最大值是（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 6$\sqrt{2}$
• C． 4+2$\sqrt{2}$
• D． 2+4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把△ACB绕点A逆时针旋转90°可得到△ACN，如图，则利用旋转的性质得∠CAC′=90°，AC′=AC=2，NC′=BC=4，于是可判断△ACC′为等腰直角三角形，所以CC′=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，根据三角形三边的关系得NC′+CC′≥NC（当且仅当点C′在NC上时，取等号），从而得到CN的最大值是4+2$\sqrt{2}$．

解答 解：∵四边形ABMN为正方形，
∴AB=AN，∠BAN=90°，
∴将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△ACN，如图，
∴∠CAC′=90°，AC′=AC=2，NC′=BC=4，
∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴CC′=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
∵NC′+CC′≥NC（当且仅当点C′在NC上时，取等号），
∴点C′在NC上时，NC最大，
此时NC=4+2$\sqrt{2}$，
即CN的最大值是4+2$\sqrt{2}$．
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．解决本题的关键通过旋转把零散的条件集中到一个三角形中．