Question

正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，设MB=x

（1）证明：；
（2）当点运动到什么位置时，
求此时的值．

Answer 1

（1）证明过程见解析，（2）M运动到BC中点时相似，x=2

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
而∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN，
（2）M运动到BC中点时相似
∵△ABM∽△AMN，
∴AB：BM=AM：MN，又MB=x，
AM=，
MN= =
：=
∴4：x= ： ，
（4-x）²（16+x²）=x²（16+x²），
16-8x=0，
解得x=2．即M运动到BC中点时相似