Question

如图1，抛物线C₁：y=ax²+bx+2与直线AB：y=

1

2

x+

1

2

交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）．

（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）点P是抛物线C₁上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；
（3）如图2，将抛物线C₁绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C₂，已知抛物线C₂的顶点E在第四象限的抛物线C₁上，且抛物线C₂与抛物线C₁交于点D，过D点作x轴的平行线交抛物线C₂于点F，过E点作x轴的平行线交抛物线C₁于点G，是否存在这样的抛物线C₂，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点A（-1，0）、B（3，2）代入抛物线y=ax²+bx+2求出a、b的值，故可得出抛物线的解析式；
（2）设AB交y轴于D，故可得出D点坐标，由此可得出OA，OD，AD的长，进而求出△AOD的周长，再根据PN∥y轴，可知∠PNM=∠CDN=∠ADO，由相似三角形的判定定理得出Rt△ADO∽Rt△PNM，故可得出

C△PNM

C△AOD

=

PN

AD

，用PN表示出△PMN的周长，故可得出当PN取最大值时，C_△PNM取最大值，设出PN两点的坐标，根据m的取值范围即可得出结论；
（3）设E（n，t），由题意得出抛物线C₁，C₂的解析式，再根据E在抛物线C₁上可得出t的表达式，由四边形DFEG为菱形可知DF=FE=EG=DG，连接ED，由抛物线的对称性可知，ED=EF，故△DEG与△DEF均为正三角形，故D为抛物线C₁的顶点，求出D点坐标，由DF∥x轴，且D、F关于直线x=n对称可得出DF的长，再根据△DEF为正三角形即可得出n的值，进而求出t的值，故可得出E点坐标．

解答：解：（1）∵A（-1，0）、B（3，2）在抛物线y=ax²+bx+2上，
∴

a-b+2=o 9a+3b+2=2

 ，
解得：

a=- 1 2 b= 3 2

 ，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）∵设AB交y轴于D，则D（0，

1

2

），（如图1）
∴OA=1，OD=

1

2

，AD=

5

2

，
∴C_△AOD=

3+ 5

2

，
∵PN∥y轴，
∴∠PNM=∠CDN=∠ADO，
∴Rt△ADO∽Rt△PNM．
∴

C△PNM

C△AOD

=

PN

AD

=

5 5 PN

5

．
∴C_△PNM=

2 5

5

×

3+ 5

2

PN=

5+3 5

5

PN．
∴当PN取最大值时，C_△PNM取最大值．
设P（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2）N（m，

1

2

m+

1

2

）．则PN=-

1

2

m²+

3

2

m+2-（

1

2

m+

1

2

）=-

1

2

m²+m+

3

2

．
∵-1＜m＜3．
∴当m=1时，PN取最大值．
∴△PNM周长的最大值为

5+3 5

5

×2=

10+6 5

5

．此时P（1，3）；

（3）设E（n，t），由题意得：抛物线C₁为：y=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，C₂为：y=

1

2

（x-n）²+t．
∵E在抛物线C₁上，
∴t=-

1

2

（n-

3

2

）²+

25

8

．
∵四边形DFEG为菱形．
∴DF=FE=EG=DG，
连接ED，由抛物线的对称性可知，ED=EF．
∴△DEG与△DEF均为正三角形．
∴D为抛物线C₁的顶点．
∴D（

3

2

，

25

8

）．
∵DF∥x轴，且D、F关于直线x=n对称．
∴DF=2（n-

3

2

）．
∵DEF为正三角形．
∴

25

8

-[-

1

2

（n-

3

2

）²+

25

8

]=

3

2

×2（n-

3

2

），
解得：n=

3+4 3

2

．
∴t=-

23

8

．
∴存在点E，坐标为E（

3+4 3

2

，-

23

8

）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．