Question

已知如图经过A（-4，0）、B（1，0）、C（0，-2）的抛物线在x轴（包括x轴）下方部分的图象，P是该图象上一点，若S_△PAC=4，则满足条件的点P的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：先利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出△AOC的面积是4，根据等底等高的三角形的面积相等可知过点O（0，0）与（0，-4）且与AC平行的直线与抛物线的交点即为所求的点P，利用待定系数法求出直线AC的解析式，再求出点P所在的直线的解析式，与抛物线联立求解，再利用根的判别式解答即可得到点的个数．

解答：解：设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
根据题意

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=-2

，
解得

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

，
所以抛物线的解析式为y=

1

2

x²+

3

2

x-2，
∵S_△AOC=

1

2

OA•OC=

1

2

×4×2=4，
∴过点O（0，0）与（0，-4）且与AC平行的直线与抛物线的交点即为所求的点P．
①如图，过点O（0，0）与AC平行的直线与抛物线有一个交点，
②∵A（-4，0），C（0，-2），
∴直线AC的解析式为y=-

1

2

x-2，
∴过点（0，-4）与AC平行的直线的解析式为y=-

1

2

x-4，
联立

y=- 1 2 x-4 y= 1 2 x2+ 3 2 x-2

，
消掉y得，

1

2

x²+

3

2

x-2=-

1

2

x-4，
整理得，x²+4x+4=0，
△=b²-4ac=4²-4×1×4=0，
所以，只有一个交点P，
综上所述，满足条件的点P的个数共有2个．
故选B．

点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等底等高的三角形的面积相等的性质，平行线间的距离相等的性质．