Question

如图，在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q，连接PE、PF．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥CD？
（2）试判断三角形PEF形状，并请说明理由；
（3）当0＜t＜2.5时．
①在上述运动过程中，五边形ABFPE的面积是否为定值？如果是，求出五边形ABFPE的面积；如果不是，请说明理由；
②试求△PEQ的面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先用t表示出AE、CP、AP的长，若PE∥CD，那么△APE∽△ACD，根据相似三角形所得比例线段即可求得此时t的值．
（2）由于AD=AC，且QE∥CD，所以△AQE也是等腰三角形，即AQ=AE，由P、Q的速度可知：CP=AE=AQ，进而可求得CQ=AP，同理可证得△CFQ也是等腰三角形，即CF=CQ，由此得CF=AP，已求得AE=PC，而∠DAC=∠FCP，由此可证得△FCP≌△PAE，即可证得PF=PE，即△PEF是等腰三角形．
（3）①由（2）的全等三角形知：△AEP、△EPC的面积相等，因此五边形的面积可转化为△ABC的面积，所以五边形的面积是个定值；
②由（1）的相似三角形，易求得QE的表达式，分别过C、P作AB、EF的垂线CG、PH，交AB于G，交EF于H，根据等腰三角形三线合一的性质，易求得AG、BG的值，进而可求得∠ACG（即∠EPH）的余弦值，即可根据PQ的长表示出QE边上的高PH的值，由三角形的面积公式，可得关于△PQE的面积和t的函数关系式，根据函数的性质即可得到△PQE的最大面积，从而求得其面积的取值范围．

解答：（本题12分）
解：（1）由题意知AE=BF=CP=t，AP=5-t，
在?ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，
当PE∥CD时，△APE∽△ACD，
∴

t

5

=

5-t

5

，
∴t=2.5．

（2）是等腰三角形．
证明：在?ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，∴∠CAB=∠CBA，
∵AB∥EF，∴∠CQF=∠CAB，∠CFQ=∠CBA，
∴∠CFQ=∠CQF，∴CF=CQ，
∴AQ=BF=AE，∴AP=CQ=CF，
∵AD∥BC，∴∠PAE=∠FCP，
∴△PAE≌△FCP（SAS），∴PE=PF．

（3）①是定值，为12．
理由：由（2）的全等三角形知：S_△AEP=S_△PCF，即S_{五边形BFPEA}=S_△ABC；
过C作CG⊥AB于G，
等腰△ACB中，AG=BG=3，AC=BC=5，则CG=4；
∴S_{五边形BFPEA}=S_△ABC=

1

2

×6×4=12．
②∵QE∥AB∥CD，
∴△AQE∽△ACD，
∴

QE

CD

=

AE

AD

，即

QE

6

=

t

5

，QE=

6t

5

；
过P作PH⊥EF于H，
由①易得：cos∠APH=cos∠ACG=

4

5

，
故PH=

4

5

PQ=

4

5

（5-2t）；
设△PEQ的面积为y，则y=

1

2

•

6

5

t•

4

5

(5-2t)=-

24

25

t2+

12

5

t=-

24

25

(t-

5

4

)2+

3

2

，
∴当t=

5

4

时，y_最大=

3

2

，
∴0＜S△PEQ≤

3

2

．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及二次函数最值的应用等知识，综合性强，难度较大．