Question

5．如图，已知△ABC的两外角平分线AP，CP相交于点P，连接BP，若∠BPC=40°，求∠CAP的度数．

Answer 1

分析 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．

解答 解：延长BA，作PN⊥BC，PF⊥BA，PM⊥AC，

设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{PM=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠PAC=50°．

点评 此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．