Question

如图，已知抛物线y=

1

2

x2+bx+c与x轴交于A （-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标．

Answer 1

分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标，由△CEF和△BEF等高，则面积比等于对应底边比，由此可得出CF=2BF；然后由平行线分线段成比例定理，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x2+bx+c与x轴交于A （-4，0）和B（1，0）两点，
∴

1 2 ×16-4b+c=0 1 2 ×1+b+c=0

，
解得：

b= 3 2 c=-2

，
故此抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+

3

2

x-2；

（2）由（1）知：C（0，-2）；
∵S_△CEF=2S_△BEF，
∴CF=2BF，BC=3BF；
∵EF∥AC，
∴

BE

AB

=

BF

BC

=

1

3

，
∵AB=5，
∴BE=

5

3

，
∴OE=BE-OB=

2

3

，
∴点E的坐标为：（-

2

3

，0）．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、平行线分线段成比例定理以及等高三角形面积的比等于其对应底的比等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．