Question

20．如图，抛物线y=a（x-1）²+k与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，点A、B的坐标分别为（-1，0）和（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D．
①若直线DM经过线段BC的中点，求点D的坐标；
②是否存在点M，使得以M、D、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
（2）令y=0，求出点C的坐标；再利用待定系数法求出直线BC的解析式；
①由平行可得△CEM∽△COB，利用相似三角形的性质求出OE的长度，即可求得点D的坐标；
②设点M的坐标为（m，m-3），点D的坐标为（m，m²-2m-3），用含m的式子表示出DM的长度，由以M、D、O、B为顶点的四边形为平行四边形，可知DM=3，分别解两个一元二次方程即可．

解答 解：（1）将A（-1，0），B（0，-3）代入y=a（x-1）²+k中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a+k=-3}\\{4a+k=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）²-4；
（2）由（x-1）²-4=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴点C的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
将C（3，0），B（0，-3）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=x-3；
①又EM∥BO，可求得△CEM∽△COB，
∵直线DM经过BC的中点，
∴$\frac{CE}{CO}=\frac{CM}{CB}=\frac{1}{2}$，解得：OE=$\frac{3}{2}$，
∴点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，$-\frac{3}{2}$），点D的横坐标为$\frac{3}{2}$，
将x=$\frac{3}{2}$代入y=（x-1）²-4，解得：y=$-\frac{15}{4}$，
∴点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，$-\frac{15}{4}$）；
②存在点M，
设点M的坐标为（m，m-3），点D的坐标为（m，m²-2m-3），
∴DM=m-3-（m²-2m-3）=m-3-m²+2m+3=-m²+3m，
或DM=m²-2m-3-（m-3）=m²-2m-3-m+3=m²-3m，
若以M、D、O、B为顶点的四边形为平行四边形，则DM=3，
即-m²+3m=3，或m²-3m=3，
对于方程-m²+3m=3，△=b²-4ac=-3＜0，方程无解，即点M不存在；
对于方程m²-3m=3，解得m₁=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，m₂=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，
∴点M的坐标为（$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{\sqrt{21}-3}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{-\sqrt{21}-3}{2}$），
综上所述，点M的坐标为（$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{\sqrt{21}-3}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{-\sqrt{21}-3}{2}$）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，在解决第②小题的题目时，要根据点M的不同位置，用含m的式子表示出DM的值，进而列出方程是解决此类题目的关键．