Question

已知抛物线y=ax²经过点A（2，1）
（1）求这个函数的解析式；
（2）写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；
（3）求△OAB的面积；
（4）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半？若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²经过点A（2，1），
∴4a=1，
解得a=，
∴这个函数的解析式为y=x²；

（2）∵点A（2，1），
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（-2，1）；

（3）∵点A（2，1），B（-2，1），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，
S_△OAB=×4×1=2；

（4）假设存在点C，且点C到AB的距离为h，
则S_△ABC=•AB•h=×4h，
∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半，
∴×4h=×2，
解得h=，
①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为1-=，
此时，x²=，
解得x₁=，x₂=-，
点C的坐标为（，）或（-，），
②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为1+=，
此时x²=，
解得x₁=，x₂=-，
点C的坐标为（，）或（-，），
综上所述，存在点C（，）或（-，）或（，）或（-，），使△ABC的面积等于△OAB面积的一半．
分析：（1）把点A的坐标代入抛物线解析式求解即可得到a的值，从而得解；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同解答；
（3）根据点A、B的坐标求出AB的长度，以及点O到AB的距离，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可求解；
（4）根据三角形的面积公式求出点C到AB的距离，再分①点C在AB下面，②点C在AB的上面两种情况求出点C的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点C的坐标．
点评：本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求二次函数解析式，关于y轴对称点的坐标特点，三角形的面积，以及二次函数的对称性，（4）要注意分点C在AB的上面与下面两种情况讨论求解．