Question

如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点，点Q的坐标为（4，0）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当OP∥CQ时，求点P的坐标；
（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当直线PQ垂直平分线段MN时，请求出此时t的值及点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，把A，B，C三点的坐标代入求出a，b，c的值即可；
（2）过P作PH⊥AB于H，首先利用已知条件求出PH和OH的比值为3：4，再设PH=3m，则OH=4m，代入抛物线的解析式求出m的值即可求出P的坐标；
（3）当线PQ垂直平分线段MN时，直线PQ上的点到∠AQC两边的距离相等，则直线PQ能平分∠AQC，由此可求出t的值及点P的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
∵抛物线经过点C（0，3），
∴c=3．
把A（-3，0）、B（-1，0）代入y=ax²+bx+3中得

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得

a=1 b=4

．
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3；
（2）过P作PH⊥AB于H，
∵OP∥CQ，
∴∠POH=∠CQO，
∴tan∠POH=tan∠CQO=

OC

OQ

=

3

4

，
∴

PH

OH

=

3

4

，
设PH=3m，则OH=4m，
∴点P的坐标为（-4m，3m）
将其代入y=x²+4x+3得：16m-16m+3=3m，
解得：m=1，
∴P的坐标为（-4，3）；
（3）过点N作ND⊥x轴于点D，则ND∥OC，（如图1）
因为直线PQ能够垂直平分线段MN，则有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC．
由QM=QN，得：7-3t=5-t，解得t=1．
设P（x，x²+4x+3），
若直线PQ⊥MN，则：过P作直线PE⊥x轴，垂足为E，
则△PEQ∽△MDN，
∴

PE

EQ

=

MD

ND

，
∴

x2+4x+3

4-x

=

4 5

12 5

，
∴x=

-13± 109

6

，
∴P（

-13- 109

6

，

37+ 109

18

）或（

-13+ 109

6

，

37- 109

18

）．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、平行四边形、角平分线的性质、二次函数的最值等知识点．试题难度不大．