Question

如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD与AB的延长线交于点D．
（1）若∠CAB=∠BCD，求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=BD，CD=6，sin∠BCD=，求CB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵OA=OC（⊙O的半径），
∴∠CAO=∠OCA，即∠CAB=∠OCA（等边对等角）；
∵∠CAB=∠BCD（已知），
∴∠BCD=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB=∠BCD+∠OCB，即∠ACB=∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
即CD是⊙O的切线；

（2）解：∵OB=OA=OC=AB，AB=BD，
∴OD=3OC；
由（1）知，∠OCD=90°．则在Rt△OCD中，OD²=OC²+CD²，CD=6，
∴OC=
∴AB=2OC=3；
∵∠OCA+∠OCB=∠BCD+∠OCB=90°，∠CAB=∠OCA，
∴∠BCD=∠CAB，
∴sin∠BCD=sin∠CAB==，
∴CB=AB=，
即CB=．
分析：（1）连接OC．欲证CD是⊙O的切线，只需证明OC⊥CD即可；
（2）由已知条件“OB=OA=OC=AB，AB=BD”证得OD=3OC；然后根据（1）中切线的性质在直角三角形OCD中利用勾股定理求得OC的长度；最后利用等量代换、三角函数的定义知sin∠BCD=sin∠CAB==，从而求得CB的长度．
点评：本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形．证明过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线是常用的方法，求圆的半径常常用勾股定理，这些方法十分重要，要熟练掌握．