A
分析:延长CD到F,使DF=BN,连接AF,过A作AH⊥NQ于H,证A B N M四点共圆,推出∠ANM=∠NAM即可判断①;证△ABN≌△ADF,推出AF=AN,∠FAD=∠BAN,证△NAQ≌△FAQ,
推出∠AQN=∠AQD即可判断②;证△ADQ≌△AHQ,即可推出③;根据AH=AD=AB,AH⊥NQ,即可判断④.
解答:
延长CD到F,使DF=BN,连接AF,过A作AH⊥NQ于H,
∵正方形ABCD,NM⊥AQ,
∴∠AMN=∠ABC=90°,
∴A B N M四点共圆,
∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°,
∴∠ANM=∠NAM=45°,
∴MA=MN,∴①正确;
∵正方形ABCD,
∴∠ABN=∠ADF=90°,AD=AB,
在△ABN和△ADF中
∵
,
∴△ABN≌△ADF,
∴∠FAD=∠BAN,AF=AN,
∵∠NAM=∠BAC=45°,
∴∠FAQ=∠FAD+∠DAQ=45°=∠NAQ,
在△NAQ和△FAQ中
∵
,
∴△NAQ≌△FAQ,
∴∠AQN=∠AQD,∴②正确;
在△ADQ和△AHQ中
∵
,
∴△ADQ≌△AHQ,
∴S
△ADQ=S
△AQH,
∴S
△NAQ=S
△FAQ=S
△FAD+S
△ADQ=
S
五边形ABNQD,
∴③正确;
∵AH=AD=AB,AH⊥NQ,
∴QN是以A为圆心,以AB为半径的圆的切线,
∴④正确.
故选A.
点评:本题考查了确定圆的条件和圆的性质,全等三角形的性质和判定,正方形的性质,切线的判定的应用,主要培养学生综合运用性质和定理进行推理的能力,本题综合性比较强,有一定的难度,对学生提出较高的要求.