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正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O,Q为CD上任意一点,AQ交BD于M,过M作MN⊥AM交BC于N,连AN、QN.下列结论:
①MA=MN;②∠AQD=∠AQN;③S△AQN=数学公式S五边形ABNQD;④QN是以A为圆心,以AB为半径的圆的切线.
其中正确的结论有


  1. A.
    ①②③④
  2. B.
    只有①③④
  3. C.
    只有②③④
  4. D.
    只有①②
A
分析:延长CD到F,使DF=BN,连接AF,过A作AH⊥NQ于H,证A B N M四点共圆,推出∠ANM=∠NAM即可判断①;证△ABN≌△ADF,推出AF=AN,∠FAD=∠BAN,证△NAQ≌△FAQ,
推出∠AQN=∠AQD即可判断②;证△ADQ≌△AHQ,即可推出③;根据AH=AD=AB,AH⊥NQ,即可判断④.
解答:
延长CD到F,使DF=BN,连接AF,过A作AH⊥NQ于H,
∵正方形ABCD,NM⊥AQ,
∴∠AMN=∠ABC=90°,
∴A B N M四点共圆,
∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°,
∴∠ANM=∠NAM=45°,
∴MA=MN,∴①正确;
∵正方形ABCD,
∴∠ABN=∠ADF=90°,AD=AB,
在△ABN和△ADF中

∴△ABN≌△ADF,
∴∠FAD=∠BAN,AF=AN,
∵∠NAM=∠BAC=45°,
∴∠FAQ=∠FAD+∠DAQ=45°=∠NAQ,
在△NAQ和△FAQ中

∴△NAQ≌△FAQ,
∴∠AQN=∠AQD,∴②正确;
在△ADQ和△AHQ中

∴△ADQ≌△AHQ,
∴S△ADQ=S△AQH
∴S△NAQ=S△FAQ=S△FAD+S△ADQ=S五边形ABNQD
∴③正确;
∵AH=AD=AB,AH⊥NQ,
∴QN是以A为圆心,以AB为半径的圆的切线,
∴④正确.
故选A.
点评:本题考查了确定圆的条件和圆的性质,全等三角形的性质和判定,正方形的性质,切线的判定的应用,主要培养学生综合运用性质和定理进行推理的能力,本题综合性比较强,有一定的难度,对学生提出较高的要求.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,边长为1的正方形ABCD中,以A为圆心,1为半径作
BD
,将一块直角三角板的直角顶点P放置在
BD
(不包括端点B、D)上滑动,一条直角边通过顶点A,另一条直角边与边BC相交于点Q,连接PC,并设PQ=x,以下我们对精英家教网△CPQ进行研究.
(1)△CPQ能否为等边三角形?若能,则求出x的值;若不能,则说明理由;
(2)求△CPQ周长的最小值;
(3)当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时分别求x的取值范围.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下面材料:
镜面对称:镜前的物体与其在镜中的像关于镜面对称
①如图1,如果桌面上有一个用火柴摆出的等式,而你从前方墙上的镜子中看见的是如下式子:
那么你能立即对桌面上等式的正确性做出判断吗?
 

②如图2,镜前有黑、白两球,据说如果你用白球瞄准红球在镜中的像,击出的白球就能经镜面反弹击中黑球.你能说出其中的道理吗?
 

如果你有两面互相垂直的镜子,你想让击出的白球先后经两个镜面反弹,然后仍能击 中黑球,那么你应该怎样瞄准?请仿照图3画出白球的运动的路线图.
③请利用轴对称解决下面问题:
如图4,在正方形ABCD中,AB=4cm,点P是AC上一动点,E是DC的中点,PD+PE的最小值为
 
cm.
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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•徐州)如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,点F在BC上,且FC=
1
4
BC.图中相似三角形共有(  )

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•随州)如图,正方形ABCD中,AB=3,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.下列结论:①点G是BC中点;②FG=FC;③S△FGC=
9
10

其中正确的是(  )

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•山西模拟)问题背景  某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下命题:
①如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN.
②如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN.
然后运用类比的思想提出了如下的命题:
③如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN.

任务要求
(1)请你对命题③进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:如图4,在五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,当∠BON=108°时,请问结论BM=CN是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

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