Question

已知两个二次函数y₁，y₂，当x=m（m＜0）时，y₁取最小值6，y₂=7；又y₂的最小值-5.5；y₁+y₂=x²-3x+9．
（1）求m的值；
（2）求二次函数y₁，y₂的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据y₁+y₂=x²-3x+9可知，6+7=m²-3m+9即可得出m的值；
（2）根据已知假设出两二次函数解析式，再利用对应项系数相等，得出方程解出即可．

解答：解：（1）由y₁+y₂=x²-3x+9可知，
6+7=m²-3m+9，
解得：m₁=-1，m₂=4，
∵m＜0，
所以m=-1，

（2）设y₁=b（x+1）²+6；
    y₂=c（x-a）²-5.5；
    于是，y₁+y₂=b（x+1）²+6+c（x-a）²-5.5，
    即x²-3x+9=b（x+1）²+6+c（x-a）²-5.5=（b+c）x²+（2b-2ca）x+（b+ca²+0.5），
    由二次项系数相等得：c+b=1，
    即c=1-b，①
    由一次项系数相等得：-3=2b-2ca②，
    由常数项相等得：9=b+ca²+0.5 ③，
    由第（1）问，x=-1时，y₂=7，即c（-1-a）²-5.5=7 ④
    联立以上四个方程（具体过程略，可先把c=b-1代入后面三个方程，再消去b），
    解得：c=

1

2

，b=

1

2

，a=4，
∴y₁=

1

2

（x+1）²+6；y₂=

1

2

（x-4）²-5.5．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数最值问题，根据题意得出相关等式方程是解决问题的关键．