Question

4．下列两图的网格都是由边长为1的小正方形组成，我们把顶点在正方形顶点的三角形称为格点三角形．
（1）求出图一中格点△ABC的周长和面积；
（2）在图二中画出格点△DEF，使它的边长满足DE=2$\sqrt{2}$，DF=5，EF=$\sqrt{29}$，并求出△DEF的面积．

Answer 1

分析 （1）先构造直角三角形，然后依据勾股定理求得AB、AC、BC的长，从而可求得△ABC的周长，依据△ABC的面积=矩形DCEF的面积-3个直角三角形的面积求解即可；
（2）依据勾股定理确定出DE、DF、EF的长，然后依据（1）中方法将三角形的面积转化为一个矩形的面积与3个直角三角形的面积之差求解即可．

解答 解：（1）如图所示：

依据勾股定理可知AB=$\sqrt{F{B}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
BC=$\sqrt{B{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴AB+BC+AC=$\sqrt{5}$+$\sqrt{37}$+2$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$+$\sqrt{37}$．
△ABC的面积=矩形DCEF的面积-△ADC的面积-△AFB的面积-△BEC的面积=6×2-$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×1×6=4．
（2）如图所示：

△DEF的面积=矩形GFNH的面积-△DGF的面积-△ENF的面积-△DHE的面积=4×5-$\frac{1}{2}$×5×2-$\frac{1}{2}$×4×3-$\frac{1}{2}$×2×2=7．

点评 本题主要考查的是勾股定理的应用，将△ABC和△DEF的面积转化为一个矩形的面积与3个直角三角形的面积之差求解即可．