Question

能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例．如果不能，请简述理由．

Answer 1

解：不能．
理由：假设存在7个整数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇排成一圈后，
满足任3个相邻数的和都等于29．
则a₁+a₂+a₃=29，a₂+a₃+a₄=29，a₃+a₄+a₅=29，a₄+a₅+a₆=29，
a₅+a₆+a₇=29，a₆+a₇+a₁=29，a₇+a₁+a₂=29．
将上述7式相加，得3×（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇）=29×7．
所以，
与a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇为整数矛盾!
所以不存在满足题设要求的7个整数．
分析：假设7个整数为a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，任3个相邻数的和都等于29的所有可能是：a₁+a₂+a₃=29，a₂+a₃+a₄=29，a₃+a₄+a₅=29，a₄+a₅+a₆=29，a₅+a₆+a₇=29，a₆+a₇+a₁=29，a₇+a₁+a₂=29．把7个等式相加得出和不是整数，推出矛盾．
点评：本题考查了整数问题的综合运用及反证法在解题中的运用．关键是假设7个整数，依题意列等式，通过等式变形，得出矛盾．