Question

17．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=2，⊙O半径=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，根据折叠的性质得DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，则可判断DA′与⊙O相切，再证明△DOA′≌△FOC得到DA′=CF=x，接着根据切线的性质得H点为切点，于是利用切线长定理得DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，然后在Rt△DCG中根据勾股定理得（2x）²+（x+1）²=（x+x+1）²，解得x₁=0（舍去），x₂=2，即AD=2；设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x-r=4-r，根据勾股定理得到2²+r²=（4-r）²，解得r=$\frac{3}{2}$，即⊙O的半径为$\frac{3}{2}$．

解答 解：作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，
∵△ADE折叠至△A′DE，
∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，
∴DA′与⊙O相切，
在△ODA′和△OCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DA′O=∠FCO}\\{OA′=OC}\\{∠DOA′=∠FOC}\end{array}\right.$
∴△DOA′≌△FOC．
∴DA′=CF=x，
∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，
∴H点为切点，
∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，
在Rt△DCG中，∵DC²+CG²=DG²，
∴（2x）²+（x+1）²=（x+x+1）²，解得x₁=0（舍去），x₂=2，
∴AD=2，
设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x-r=4-r，
在Rt△DOA′中，∵DA′²+OA′²=DO²，
∴2²+r²=（4-r）²，解得r=$\frac{3}{2}$，
即⊙O的半径为$\frac{3}{2}$．
故答案为2，$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了折叠的性质和勾股定理．