Question

如图，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y=-2x²+bx+c (a≠0)经过点A、C.

（1）求抛物线的解析式;
（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍.求出点Q的坐标;
（3）点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形? 若存在,求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）y=-2x²+2x+4；（2）Q（0，4）或（1，4）或（，-4）或（，-4）；（3）存在，点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（，），点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．

试题分析：1）根据直线y=-2x+4求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出点P的坐标，过点P作PD⊥y轴于D，根据点P、C的坐标求出PD、CD，然后根据S_△APC=S_梯形APDO-S_△AOC-S_△PCD，列式求出△APC的面积，再根据抛物线解析式求出点B的坐标，从而得到AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出△ABQ的点Q的纵坐标的值，然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标；
（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y=-2x+4上，设点M的坐标为（a，-2a+4），然后分①∠EMF=90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE=90°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．
试题解析：（1）令x=0，则y=4，
令y=0，则-2x+4=0，解得x=2，
所以，点A（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=-2x²+bx+c经过点A、C，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=-2x²+2x+4；
（2）∵y=-2x²+2x+4=-2（x-）²+，
∴点P的坐标为（，），
如图，过点P作PD⊥y轴于D，

又∵C（0，4），
∴PD=，CD= ，
∴S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，
=×（+2）×-×2×4-××
=
=，
令y=0，则-2x²+2x+4=0，
解得x₁=-1，x₂=2，
∴点B的坐标为（-1，0），
∴AB=2-（-1）=3，
设△ABQ的边AB上的高为h，
∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，
∴×3h=4×，
解得h=4，
∵4＜，
∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，
即点Q的纵坐标为4或-4，
当点Q的纵坐标为4时，-2x²+2x+4=4，
解得x₁=0，x₂=1，
此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），
当点Q的纵坐标为-4时，-2x²+2x+4=-4，
解得x₁=，x₂=，
此时点Q的坐标为（，-4）或（，-4）
综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（，-4）或（，-4）；
（3）存在．
理由如下：如图，

∵点M在直线y=-2x+4上，
∴设点M的坐标为（a，-2a+4），
①∠EMF=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=|-2a+4|，
即a=-2a+4或a=-（-2a+4），
解得a=或a=4，
∴点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（，），
点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；
②∠MFE=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=|-2a+4|，
即a=（-2a+4），
解得a=1，
-2a+4=2×1=2，
此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），
或a=（-2a+4），此时无解，
综上所述，点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（，），
点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；
点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．
考点: 二次函数综合题.