Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．

Answer 1

（1）证明：连结DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．…
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．…
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS）…
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．…

（2）解：∵△COD≌△COB．
∴CD=CB．…
∵DE=2BC，
∴ED=2CD． …
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO．…
∴．…
分析：（1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；
（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．
点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．