Question

已知：如图，一次函数y₁=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=

m

x

 (m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，过A作AC⊥x轴于点C，连接OA、OB、BC．已知OC=4，tan∠OAC=2，点B的纵坐标为-6．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）求四边形OACB的面积．

Answer 1

分析：（1）由AC垂直于x轴，得到三角形ACO为直角三角形，由OC及tan∠OAC的值，利用锐角三角函数定义求出AC的长，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例函数解析式中确定出m的值，进而求出反比例解析式，将y=-6代入反比例解析式中求出x的值，确定出B的坐标，将A和B的坐标代入一次函数解析式中得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式；
（2）四边形OABC的面积=三角形AOC的面积+三角形BOC的面积，而两三角形都为OC为底边，其高分别为A和B的纵坐标，利用三角形的面积公式求出即可．

解答：解：（1）∵AC⊥x轴，tan∠OAC=2，OC=4，
∴在Rt△ACO中，tan∠OAC=

OC

AC

=

4

AC

=2，
∴AC=2，
∴A（-4，2），
又反比例函数y₂=

m

x

过A（-4，2），
∴m=-4×2=-8，
∴y₂=-

8

x

，
∴当y=-6时，x=

4

3

，
∴B（

4

3

，-6），
将A和B坐标代入y₁=kx+b中，得：

-4k+b=2 4 3 k+b=-6

，
解得：

k=- 3 2 b=-4

，
∴y₁=-

3

2

x-4；
（2）S_{四边形OABC}=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

•OC•|y_A|+

1

2

•OC•|y_B|=

1

2

×2×4+

1

2

×4×6=16．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了待定系数法，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生注意灵活运用．