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【题目】课本中有一道作业题:

有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在ABAC上.问加工成的正方形零件的边长是多少mm

小颖解得此题的答案为48mm,小颖善于反思,她又提出了如下的问题.

1)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算.

2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.

【答案】1)这个矩形零件的两条边长分别为mmmm

2S的最大值为2400mm2,此时PN=60mmPQ=80﹣×60=40mm

【解析】

试题分析:1)设PN=2ymm),则PQ=ymm),然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可;

2)设PN=x,用PQ表示出AE的长度,然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN,然后根据矩形的面积公式列式计算,再根据二次函数的最值问题解答.

解:(1)设矩形的边长PN=2ymm),则PQ=ymm),由条件可得APN∽△ABC

=

=

解得y=

PN=×2=mm),

答:这个矩形零件的两条边长分别为mmmm

2)设PN=xmm),矩形PQMN的面积为Smm2),

由条件可得APN∽△ABC

=

=

解得PQ=80﹣x

S=PNPQ=x80﹣x=﹣x2+80x=﹣x﹣602+2400

S的最大值为2400mm2,此时PN=60mmPQ=80﹣×60=40mm).

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