Question

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM，CD分别交于点E、F．

求证：∠BEN=∠NFC．

Answer 1

证明：取AC中点G，连接NG，MG，
∵点M，G，N分别是边AD，AC，BC的中点，
∴MG是△ADC的中位线，
∴NG∥AB，MG∥CF，NG=AB，MG=CD，
∴∠BEN=∠FNG，∠CFN=∠NMG，
∵NG=AB，MG=CD，AB=CD，
∴NG=MG，
∴∠MNG=∠GMN，
∵∠MNG=∠BEN，
∠GMN=∠CFN，
∴∠BEN=∠CFN．
分析：取AC中点G，连接NG，MG，根据三角形中位线定理可得到NG∥AE，MG∥CF，NG=AB，MG=CD，由平行线的性质可得∠BEN=∠FNG，∠CFN=∠NMG，从而可推出△GMN为等腰三角形，从而不难证得结论．
点评：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是关键．