Question

设n为自然数，且an=

3	n2+2n+1

+

3	n2-1

+

3	n2-2n+1

，则

1

a1

+

1

a3

+…+

1

a997

+

1

a999

=

 

．

Answer 1

考点：有理数无理数的概念与运算

专题：

分析：运用乘法公式（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³，求出a_n的倒数，得出一般规律，再计算算式．

解答：解：由已知得a_n=(n+1)

2

3

+(n+1)

1

3

•(n-1)

1

3

+(n-1)

2

3

，
而[(n+1)

1

3

-(n-1)

1

3

][(n+1)

2

3

+(n+1)

1

3

•(n-1)

1

3

+(n-1)

2

3

]
=[(n+1)

1

3

]³-[(n-1)

1

3

]³
=（n+1）-（n-1）
=2，
即[(n+1)

1

3

-(n-1)

1

3

]•a_n=2，
所以

1

an

=

1

2

（

3	n+1

-

3	n-1

），
则

1

a1

+

1

a3

+…+

1

a997

+

1

a999

=

1

2

（

3	2

-0+

3	4

-

3	2

+

3	6

-

3	4

+…+

3	998

-

3	996

+

3	1000

-

3	998

）
=

1

2

×

3	1000

=

1

2

×10
=5．
故答案为：5．

点评：本题考查了有理数无理数的概念与运算．关键是分析a_n的式子结构特点，利用乘法公式推出一般规律．