Question

已知：矩形OABC中，A（6，0），B（6，4），F为AB边的中点，直线EF交边BC于E，且sin∠BEF=

5

5

，P为线段EF上一动点，PM⊥OA于M，PN⊥OC于N．
（1）求直线EF的函数解析式并注明自变量取值范围；
（2）求矩形ONPM的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）矩形ONPM、矩形OABC有可能相似吗？若相似，求出此时点P的坐标；若不相似，请简要说明理由．

Answer 1

（1）∵F为AB中点，AB=4，
∴AF=2，BF=2，F（6，2），
在Rt△BEF中，EF=

BF

sin∠BEF

=

2

5 5

=2

5

，
∴BE=

EF2-BF2

=

(2 5 )2-22

=4，
∴CE=6-4=2，
∴E（2，4），
设直线EF的函数解析式为y=kx+b，
把E（2，4）、F（6，2）分别代入
解得：k=-

1

2

，b=5，
∴直线EF的函数解析式为y=-

1

2

x+5（2≤x≤6）．

（2）设矩形ONPM的面积为S，
∵点P在直线y=-

1

2

x+5上，
∴OM=x，ON=y=-

1

2

x+5，
∴S=x(-

1

2

x+5)=-

1

2

(x-5)2+

25

2

，
∴矩形ONPM的面积S的最大值为

25

2

，
此时，x=5，点P的坐标为（5，

5

2

）．

（3）当矩形ONPM、矩形OABC相似时，
有

ON

OC

=

OM

OA

或

ON

OA

=

OM

OC

，
∴

- 1 2 x+5

4

=

x

6

或

- 1 2 x+5

6

=

x

4

，
∴x=

30

7

或x=

5

2

，且满足2≤x≤6，
此时，点P的坐标为(

30

7

，

20

7

)或(

5

2

，

15

4

)．