Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，交⊙O于F，BE⊥AC于E，BE交AD于H，直线OH交AB于M，交AC于N，下列结论中：
（1）DH=DF；（2）AO=AH；（3）AM=AN；（4）MO=OH=HN．
其中正确的是

1. A.
   （1）（2）（3）
2. B.
   （1）（2）（4）
3. C.
   （1）（3）（4）
4. D.
   （2）（3）（4）

Answer 1

A
分析：连接CH、CF．延长CH交AB于Q，根据H是垂心求出∠HCD=∠FCD，根据ASA证△HCD≌△FCD，推出DH=DF即可判断（1）；作OP⊥AB于P，连接OB，根据圆周角定理求出∠AOP=∠ACB，求出∠PAO=∠EAH，求出AP=AE=AB，根据ASA证△AEH≌△APO，即可推出AO=AH，即可判断（2）；过A作AR⊥OH于R，求出∠MAR=∠NAR，根据ASA证△MAR≌△NAR，推出AM=AN，即可判断（3）；根据等腰三角形的性质三线合一定理推出OM=HN，但不能推出OH和OM或HN的关系，即可判断（4）．
解答：连接CH、CF．延长CH交AB于Q，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，BE交AD于H，
∴H是垂心，
∴CQ⊥AB，∠ADC=∠CDF=90°，
∴∠BCH+∠ABC=90°，
∵∠BCF+∠AFC=90°，∠ABC=∠AFC，
∴∠BCH=∠BCF，
在△DCH和△DCF中
∵，
∴△CDH≌△CDF（ASA）
∴HD=DF，∴（1）正确；
作OP⊥AB于P，
∵∠BAC=60°，∠BEA=90°，
∴∠ABE=30°，
∴AE=AB，
∵OP⊥AB，OP过O点，
∴AP=AB﹙垂径定理﹚，
∴AE=AP，
∵∠AOP=∠ACB，∠BAO+∠AOP=90°，∠ACD=90°，
∴∠CAF+∠ACB=90°，
∴∠BAO=∠CAF，
在△AEH和△APO中
∵，
∴△AEH≌△APO（ASA），
∴AO=AH，∠BAO=∠CAF，∴（2）正确；
过A作AR⊥OH于R，
即∠ARM=∠ARN=90°，
∵AO=AH，
∴∠OAR=∠HAR，
∵∠MAO=∠EAH，
∴∠MAR=∠NAR，
在△MAR和△NAR中
∵，
∴△MAR≌△NAR（ASA），
∴AM=AN，∴（3）正确；
∵AM=AN，AH=AO，AR⊥MN，
∴MR=NR，OR=RH，
∴OM=HN，
根据已知条件不能推出OH和OM的关系，∴（4）错误；
故选A．
点评：本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形，垂径定理等知识点，此题综合性比较强，难度偏大．