Question

如图等边△ABC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．
（1）写出图中全等三角形；
（2）BD²=AD•DF吗？请说明理由；
（3）△AEF与△BEA相似吗？说说你的理由．

Answer 1

分析：（1）由等边三角形ABC可得出的条件是：AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB；由BD=CE得出的条件是CD=AE；可根据SAS来得出的全等三角形是：△ACD≌△BAE，△ABD≌△BCE；
（2）可通过证△BDF∽△ADB来得出BD²=AD•DF的结论；
（3）由（1）的△ACD≌△BAE可得出：∠DAC=∠ABE，再加上公共角∠AEF，可根据两个对应角相等的三角形相似证得．

解答：解：（1）△ACD≌△BAE，△ABD≌△BCE；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BA，∠C=∠BAE=60°，AC=BC，
∵BD=CE，
∴AE=CD，
∴△ACD≌△BAE（SAS），△ABD≌△BCE（SAS）；

（2）BD²=AD•DF；
证明：由△ABD≌△BCE，得∠EBC=∠DAB，
又∵∠ADB=∠BDF，
∴△BDF∽△ADB；
∴

BD

AD

=

DF

BD

，即BD²=AD•DF；

（3）△AEF∽△ABE；
证明：由△ACD≌△BAE，得∠DAC=∠ABE；
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形、相似三角形的判定和性质．