Question

如图，直线y=-x+20与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动．动直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），且分别与y轴、线段AB交于E、F点，当P点到达O点时，点P和直线EF均停止运动．连结FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积．
（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

解：（1）∵直线y=-x+20与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标是（20，0），B点的坐标是（0，20），
∴当t=1秒时，P点坐标为（17，0），E（0，1），
由图形可知点F与点E的纵坐标都为1，把y=1代入y=-x+20中，
解得x=19，
∴F（19，1），
梯形OPFE的面积S=（EF+OP）×OE=18，
∴当t=1秒时，梯形面积是18；

（2）设t=t₀时，由图可知P（20-3t₀，0），E（0，t₀），F（20-t₀，t₀），则：
梯形OPFE的面积S=×（EF+OP）×OE=×（20-t₀+20-3t₀）×t₀=-2（t₀-5）²+50，
当t₀=5时S有最大值，则最大值为50，
当t=5时，梯形OPFE的面积最大，最大为50．
分析：（1）根据直线y=-x+20与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A和B点的坐标，再根据当t=1秒时，得出P点坐标，由图形可知点F与点E的纵坐标都为1，把y=1代入y=-x+20中，
求出x的值，得出点F的坐标，最后根据梯形的面积公式即可得出答案；
（2）先设t=t₀时，根据图形得出P、E、F的坐标，再根据梯形的面积公式进行计算即可得出答案．
点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是根据直线求点的坐标，梯形的面积公式，利用二次函数的解析式求最值问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．