Question

已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，若△PAB与△ABC全等，那么PC=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的性质,勾股定理

专题：分类讨论

分析：利用勾股定理列式求出AB，然后分①点P与点C在AB的两侧时，AP与BC是对应边时，四边形ACBP是矩形，然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP与AC是对应边时，根据对称性可知AB⊥PC，再利用三角形的面积列式计算即可得解；②点P与点C在AB的同侧时，利用勾股定理求出BD，再根据PC=AB-2BD计算即可得解．

解答：解：由勾股定理得，AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10cm，
①点P与点C在AB的两侧时，若AP与BC是对应边，则四边形ACBP是矩形，
∴PC=AB=10cm，
若AP与AC是对应边，则△ABC和△ABP关于直线AB对称，
∴AB⊥PC
设AB与PC相交于点D，则S_△ABC=

1

2

×10•CD=

1

2

×6×8，
解得CD=

24

5

，
∴PC=2CD=2×

24

5

=

48

5

，
②点P与点C在AB的同侧时，
由勾股定理得，BD=

BC2-CD2

=

62-( 24 5 )2

=

18

5

，
∴PC=AB-2BD=10-2×

18

5

=

14

5

，
综上所述，PC的长为10或

48

5

或

14

5

．
故答案为：10或

48

5

或

14

5

．

点评：本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，勾股定理，轴对称性，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．