Question

如果抛物线与x轴都交于A，B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x同的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．

（1）求m的取值范围；

（2）若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存 在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请 说明理由．

Answer 1

（1）设A，B两点的坐标分别是（x₁，0）、（x₂，0），

∵A，B两点在原点的两侧，

∴ x₁x₂<0，即-（m+1）<0，

解得  m>-1．

∵

    

当m>-1时，Δ>0，

∴m的取值范围是m>-1．

（2）∵a∶b=3∶1，设a=3k，b=k（k>0），

则x₁=3k，x₂=-k，

∴

解得．

∵时，（不合题意，舍去），

∴m=2

∴抛物线的解析式是．

（3）易求抛物线与x轴的两个交点坐标是A（3，0），B（-1，0）

与y轴交点坐标是C（0，3），顶点坐标是M（1，4）．

设直线BM的解析式为，

则

解得 

∴直线BM的解析式是y=2x+2．

设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是（0，2），

∴

        

设P点坐标是（x,y），

∵，

∴．

即．

∴．∴．

当y=4时，P点与M点重合，即P（1，4），

当y=-4时，-4=-x²+2x+3，

解得．

∴满足条件的P点存在．

P点坐标是（1，4），．