Question

11．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，直径MN⊥AB且分别交AB、CD于E、F，下列4个结论：①AE=BE；②CF=DF；③AC=BD；④MF=EF．其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据垂径定理可得出①②正确；过点C作CC′⊥AB于点C′，过点D作DD′⊥AB于点D′，通过证明△ACC′≌△BDD′（SAS）可得出③正确；根据给定的条件无法找出MF和EF之间的关系，即④错误．综上即可得出结论．

解答 解：∵直径MN⊥AB，
∴AE=BE，故①正确；
∵弦AB∥CD，
∴NM⊥CD，
∴CF=DF，故②正确；
过点C作CC′⊥AB于点C′，过点D作DD′⊥AB于点D′，如图所示．
∵CD∥AB，CC′⊥AB，DD′⊥AB，EF⊥AB，
∴CC′=DD′=EF，CF=DF=C′E=D′E，
∴AC′=BD′．
在△ACC′和△BDD′中，$\left\{\begin{array}{l}{CC′=DD′}\\{∠AC′C=∠BD′D=90°}\\{AC′=BD′}\end{array}\right.$，
∴△ACC′≌△BDD′（SAS），
∴AC=BD，故③正确；
只根据“弦AB∥CD，直径MN⊥AB且分别交AB、CD于E、F”，无法找出MF和EF的关系，故④错误．
综上可知：正确的结论有①②③．
故选C．

点评 本题考查了垂径定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．