Question

如图，AB∥CD，∠ACB=∠BDC=Rt∠，CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）已知tan∠ABC=2，求的值．

Answer 1

（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
又∵∠ACB=∠BDC=Rt∠，
∴△ABC∽△BCD；

（2）解：∵tan∠ABC=2，
∴可设AC=2k，则BC=k．
∵∠ACB=Rt∠，
∴AB²=AC²+BC²=5k²，
∴AB=．
∵△ABC∽△BCD，
∴∠BAC=∠CBD，∠ACB=∠BDC=90°，
∴sin∠BAC=sin∠CBD，
∵CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F，
∴====．
分析：（1）先由平行线的性质得出∠ABC=∠BCD，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△ABC∽△BCD；
（2）先由tan∠ABC=2，在直角△ABC中根据正切函数的定义设AC=2k，则BC=k，根据勾股定理求出AB=，再由△ABC∽△BCD，根据相似三角形对应角相等得出∠BAC=∠CBD，则sin∠BAC=sin∠CBD，然后根据CE=BD及正弦函数的定义列出比例式，即可求出的值．
点评：本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的定义，难度适中，证明出△ABC∽△BCD是解题的关键．