Question

如图，已知AM是△ABC的BC边上的中线，证明：AB²+AC²=2（AM²+MC²）．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：证明题

分析：过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理得出AB²+AC²=2AM²-2DM²+BD²+CD²，进而由BD²=MC²+2MC•DM+DM²，CD²=MC²-2MC•DM+DM²，求出即可．

解答：解：过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²①，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²②，
由①+②得：AB²+AC²=2AD²+BD²+CD²，
在Rt△ADM中，AD²=AM²-DM²，
则AB²+AC²=2AM²-2DM²+BD²+CD²，
∵AM是△ABC的BC边上的中线，
∴BM=MC，
∴BD²=（BM+DM）²=（MC+DM）²=MC²+2MC•DM+DM²，
CD²=（MC-DM）²=MC²-2MC•DM+DM²，
∴AB²+AC²=2AM²-2DM²+MC²+2MC•DM+DM²+MC²-2MC•DM+DM²，
∴AB²+AC²=2AM²+2MC²=2（AM²+MC²）．

点评：此题主要考查了勾股定理，根据题意构造出直角三角形进而转化线段有关的等式是解题关键．