Question

如图，分别以Rt△XYZ的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY，若直角边YZ=1，XZ=2，则六边形ABCDEF的面积为

 

．

Answer 1

分析：首先根据勾股定理求出XY，那么可求出三个正方形和△XYZ及△EFZ的面积，再根据已知图形可求出∠DYC=180°-∠XYZ，
∠AXB=180°-∠YXZ，那么也能求出△CDY和△ABX的面积．三个正方形和四个三角形面积的和就是六边形ABCDEF的面积．

解答：解：在Rt△XYZ中，根据勾股定理得：
XY²=YZ²+XZ²=1²+2²=5，
∴XY=

5

．
∴sin∠YXZ=

1

5

，sin∠XYZ=

2

5

，
所以得：
正方形AXZF的面积=2×2=4，
正方形DEZY的面积=1×1=1，
正方形BCYX的面积=

5

×

5

=5，
△XYZ的面积=

1

2

×1×2=1，
△EFZ的面积=

1

2

×1×2=1，
又∠AXB=360°-90°-90°-∠YXZ=180°-∠YXZ，
同理：∠DYC=180°-∠XYZ，
已知正方形AXZF、BCYX、DEZY，
∴AX=2，DY=1，BX=CY=

5

，
∴△ABX的面积=

1

2

AX•BX•sin∠AXB=

1

2

AX•BX•sin（180°-∠YXZ）
=

1

2

AX•BX•sin∠YXZ=

1

2

×2×

5

×

1

5

=1，
同理：△CDY的面积=

1

2

CY•DY•sin∠XYZ=

1

2

×

5

×1×

2

5

=1．
六边形ABCDEF的面积=正方形AXZF的面积+正方形DEZY的面积+正方形BCYX的面积+△XYZ的面积+△EFZ的面积+△ABX的面积+△CDY的面积
=4+1+5+1+1+1+1=14．
故答案为：14．

点评：此题是勾股定理、正方形面积、三角形面积知识的综合运用．关键是根据勾股定理求出XY，再是表示出∠DYC=180°-∠XYZ和∠AXB=180°-∠YXZ．