Question

【题目】（1）如图1，D是等边三角形△ABC的边BA上任意一点（D与A、B不重合），连接DC，以DC为边在BC边上方作等边三角形△DCE，连接AE，∠ABC与∠EAC有怎样数量关系直接写出结论

（2）如图2，D是等边三角形△ABC边BA延长线上一点，连接DC，以DC为边在BC边上方作等边三角形△DCE，连接AE，求证：∠ABC=∠EAC；

（3）如图3，D是等边三角形△ABC边AB延长线上一点，连接DC，以DC为边在BC边上方作等边三角形△DCE，连接AE，探究∠ABC与∠EAC的数量关系，直接写出结论

Answer 1

【答案】（1）∠ABC=∠EAC；（2）证明见解析；（3）∠ABC +∠EAC=180°或∠EAC=2∠ABC

【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质得到CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，继而得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BCD≌△ACE即可；（3）同（1）的方法判断出△BCD≌△ACE即可.

试题解析：

（1）∠ABC=∠EAC，

∵△ABC、△CDE是等边三角形，

∴CB=CA，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=∠ACE，

∵在△BCD和△ACE中，

∴△BCD≌△ACE(SAS)，

∴∠ABC=∠EAC；

故答案为：∠ABC=∠EAC；

（2）证明：∵△ABC和△DCE均为等边三角形

∴CB=CA，CD=CE，∠ACB=∠DCE =60°，

∴∠ACB+∠DCA=∠DCE+∠DCA，

即∠DCB=∠ECA，

在△DCB和△ECA中，

∴ △DCB≌△EAC，

∴ ∠ABC=∠EAC；

（3） ∠ABC +∠EAC=180°或 ∠EAC=2∠ABC

③∵△ABC、△CDE是等边三角形，

∴∠ACB=∠DCE=∠ABC=60°，

∴∠ACE=∠BCD，

在△BCD和△ACE中， ，

∴△BCD≌△ACE(SAS)，

∴∠DBC=∠EAC，

∵∠ABC+∠DBC=180°，

∴∠ABC+∠EAC=180°，

∵∠ABC=60°，

∴∠EAC=120°=2∠ABC.

故答案为：∠ABC+∠EAC=180°或∠EAC=2∠ABC.