Question

如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC于M，连CD．下列结论：①AC+CE=AB；②CD=

1

2

AE；③∠CDA=45°；④

AC+AB

AM

=定值．
其中正确的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ，
∴∠QEB=45°=∠CBA，
∴EQ=BQ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CE，∴①正确；
作∠ACN=∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD=

1

2

∠CAB=22.5°=∠BAD，
∴∠DBA=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD，
∴∠DBC=∠CAD，
∵AC=BC，∠ACN=∠DCB，
∴△ACN≌△BCD，
∴CN=CD，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDN=45°，
∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN，
∴AN=CN，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE，
∴CD=AN=EN=

1

2

AE，
∴②正确，③正确；
过D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，
∴∠MCD=∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM=DH，
在△DCM和△DBH中
∠M=∠DHB=90°，∠MCD=∠DBA，DM=DH，
∴△DCM≌△DBH，
∴BH=CM，
由勾股定理得：AM=AH，
∴

AC+AB

AM

=

AC+AH+BH

AM

=

AC+AM+CM

AM

=

2AM

AM

=2，
∴④正确；
故选D．