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    5．已知△ABC内接⊙O，半径OC平分∠ACB，射线CO交弦AB于点K．
    （1）如图1，求证：∠A=∠B．
    （2）如图2，点D在圆周上，它与搭建C位于弦AB的两侧，连接BO并延长BO，交弦AD于点E，连接BD，若∠BAD=2∠BAC，求证：AD=2AE；
    （3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长AO，交⊙O于点F，交弦CB的延长线于点G，连接DG，若BG=CB，AC=$\sqrt{6}$，求线段DG的长．

    分析 （1）延长CO交圆O于点D，连结AD、BD．由角平分线的定义可知∠ACD=∠BCD，接下来，依据圆周角定理可知∠DAB=∠DBA，∠CAD=∠CBD=90°，依据等式的性质可得到∠CAB=∠CBA，从而可证明AC=BC．
    （2）连结OA、OD．先证明∠ADB=∠COB，然后再证明∠COB=∠BAD，从而得到AB=BD，接下来依据线段垂直平分线的判定定理证明OB是AD的垂直平分线即可；
    （3）连结BF、DF，过点D作DM⊥AG，垂足为M．由（1）可知AC=BC．依据等腰三角形三线合一的性质可证明AK=BK，CK⊥AB，从而可知OK是△ABF的中位线，然后结合平行线分线段成比例定理可得到OC=2BF=4OK．设OK=x．先求得AK的长，然后在△ACK中，依据勾股定理可求得k的值，从而得到OA=OC=OF=FG=4，BK=AK=$\sqrt{15}$，接下来依据锐角三角函数的定义求得AE、AM的长，最后在△AMD和△GDM中依据勾股定理可求得DG的长．

    解答 解：（1）如图1所示：延长CO交圆O于点D，连结AD、BD．

    ∵OC平分∠ACB，
    ∴∠ACD=∠BCD．
    ∵∠DAB=∠CCB，∠ABD=∠ACD，
    ∴∠DAB=∠DBA．
    ∵CD为⊙O的直径，
    ∴∠CAD=∠CBD=90°．
    ∴∠CAD-∠BAD=∠CBD-∠ABD，即∠CAB=∠CBA．
    ∴AC=BC．
    （2）如图2所示：连结OA、OD．

    ∵由（1）可知：∠CAB=∠CBA，
    ∴∠AOC=∠BOC．
    ∴∠COB=$\frac{1}{2}$∠AOB．
    ∵∠ADB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
    ∴∠ADB=∠COB．
    ∵∠COB=2∠BAC，∠BAD=2∠BAC，
    ∴∠COB=∠BAD．
    ∴AB=BD．
    又∵OA=OD，
    ∴OB是AD的垂直平分线．
    ∴AD=2AE．
    （3）如图3所示：连结BF、DF，过点D作DM⊥AG，垂足为M．

    由（1）可知AC=BC．
    又∵OC平分∠ACB，
    ∴AK=BK，CK⊥AB．
    ∵OA=OF，AK=BK，
    ∴OK是△ABF的中卫线，
    ∴OK∥BF，BF=2OK．
    ∵BC=BG，OK∥BF，
    ∴OF=GF，
    ∴OC=2BF=4OK．
    设OK=x．
    ∵在△AKO中，AK=$\sqrt{A{O}^{2}-O{K}^{2}}$=$\sqrt{15}$k，
    ∴BK=AK=$\sqrt{15}$K．
    ∵在△ACK中，AC2=AK2+CK2，即（$\sqrt{15}$k）2+（3k）2=（2$\sqrt{6}$）2，解得：k=1，
    ∴OA=OC=OF=FG=4，BK=AK=$\sqrt{15}$．
    ∴sin∠OBK=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{OK}{OB}$，即$\frac{AE}{2\sqrt{15}}$=$\frac{1}{4}$，解得：AE=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
    ∴AD=$\sqrt{15}$．
    ∵cos∠DAM=$\frac{AE}{OA}$=$\frac{AM}{AD}$，
    ∴$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{4}$=$\frac{AM}{\sqrt{15}}$，解得：AM=$\frac{15}{8}$．
    ∴MG=12-$\frac{15}{8}$=$\frac{81}{8}$．
    ∵AD2-AM2=DG2-MG2，
    ∴15-（$\frac{15}{8}$）2=DG2-（$\frac{81}{8}$）2，解得：DG=$\sqrt{114}$．

    点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数的定义、三角形的中卫线定理、平行线分线段成比例定理，AM、AD、MG的长度是解答本题的关键．

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    A．$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$B．$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$C．$\frac{{\sqrt{7}}}{3}$D．$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

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    A．70°B．80°C．90°D．100°

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